만유인력 하의 궤도 운동  
1.서론

우리는 만유인력과 인공위성에 대해 배우지만, 너무 광대한 범위에서 일어나는 것들이기 때문에 사실상 잘 와 닿지 않는다. 이번 실험에서는 광대하게 넓은 범위를 일정한 비율로 줄여 모눈종이에 표시해본다

따라서 이러한 과정을 통해 인공위성의 운동을 한 눈에 볼 수 있으며 직접 인공위성의 궤도, 각운동량 보존, 케플러 제 2법칙, 탈출속도를 구해보고 비교할 수 있다.
2.실험목적
① 인공위성의 초기 조건(위치, 속도)을 이용하여 지구의 주위를 궤도 운동하고 있는 인공위성의 전 궤도를 예측해본다.
② 궤도 운동에서 각운동량 보존 법칙과 케플러 제 2법칙이 성립함을 확인하고, 탈출속도를 계산해 본다.
3.실험원리
1) 만유인력 하의 궤도 운동
지구와의 거리 r만큼 떨어져 있는 인공위성이 지구를 중심으로 원 궤도 운동을 한다면 인공위성의 순간속도 방향은 운동방향의 접선방향이다.어떤 시점에서 시간이 delta t만큼 지나면 인공위성의 속도는 바뀌게 되는데, 운동량-충격량의 원리에서 m left delta vec{v} ` right `` left vec{f} ` right delta t`의 관계가 성립한다.(delta vec{v}방향은 vec{f}의 방향, 지구 중심이다.) 이 때 작용하는 힘은 만유인력으로서, left vec{f} ` right `` {gmm} over {r ^{2}}(g``6.673` times `10 ^{-11} `n``m ^{2} /kg ^{2}, m: 지구의 질량, m: 인공위성의 질량)이다.따라서 m left delta vec{v} ` right `` left vec{f} ` right delta t`` {gmm delta t} over {r ^{2}}이고, 인공위성이 움직인 변위 left delta vec{s} right `` left delta vec{v} ` right delta t`이므로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
left delta vec{s} right `` left delta vec{v} ` right delta t`` {gm( delta t) ^{2}} over {r ^{2}} (1)

인공위성이 속도 vec{v {n-1}}로 운동하다가 delta vec{v {n}}만큼의 속도변화가 있었다면 다음 구간에서의 속도 vec{v {n}} `` vec{v {n-1}} ``` delta vec{v {n}} `,``````n``1,`2,`3,`. 임을 알 수 있다

따라서 n번째 구간에서의 인공위성의 위치는 다음과 같은 관계식을 갖는다.
vec{v {n}} delta t`` vec{v {n-1}} delta t`` delta vec{v {n}} delta t,```n``1,`2,`3,`. (2)
(1)과 (2)에서 triangle vec{v {n}} delta t`` {gm( delta t) ^{2}} over {r {n-1} ^{```````````````2}}이다.여기에 만유인력 상수 g와 m``5.9736` times `10 ^{24} kg, t``300sec로 계산된 scaling factor를 대입하면 구간마다 위성의 변위는 다음과 같다.
triangle vec{v {n}} delta t`` {4.10` times `10 ^{5}} over {r {n-1} ^{````````````````2}} (3)
2) 각운동량 보존 법칙과 케플러 제 2법칙
먼저, 선운동량이 vec{p} ``m vec{v}인 입자가 xy평면 위를 움직일 때, 원점 o에 대한 입자의 각운동량은 다음과 같이 정의된다.
vec{l} `` vec{r} ` times ` vec{p} ``m( vec{r} ` times ` vec{v} )
따라서 각운동량의 크기 l``mvrsin theta 이다.이 때, 각운동량 보존의 법칙은 크기가 있는 물체에 외부의 힘이 작용하지 않거나 작용하더라도 외부 힘의 모멘트의 합이 0이라면, 물체의 전체 각운동량은 보존된다는 법칙이다.
케플러의 제 2 법칙은 면적속도 일정의 법칙이라고도 하며, 행성과 태양을 연결하는 선분은 같은 시간 동안 같은 면적의 궤도면을 휩쓸고 지나간다는 법칙이다.이 법칙은 각운동량의 보존법칙과 완전히 동등하다.
3)인공위성 탈출속도

물체를 어떠한 속도로 위로 쏘아 올렸는데 지구로 되돌아오지 않고 계속 위로 운동하여 이론적으로 무한대에서만 정지한다. 이 속도를 지구 중력장에서의 탈출 속도이라고 한다

계의 역학적 에너지 e k``u(k: 운동에너지, u: 위치에너지)에서, 인공위성이 지구에서 탈출했을 때 총 역학적 에너지는 0이 된다. 만유인력에 의한 위치에너지 u``-{gmm} over {r}, 인공위성의 운동에너지 k`` {1} over {2} mv ^{2}이므로 탈출속도 v는 다음과 같다   (이하 생략)