물리 예비레포트 구의 역학적 에너지 보존법칙
목적:사면과 원주 궤도를 따라 금속 구를 굴리는 과정에서 구의 회전 운동에너지를 포함하는 역학적 에너지의 보존을 살핀다.
경사면의 높이 h되는 곳에서 반지름 r이고 질량이 m인 구가 정지상태에서 출발하여 굴러내려오면 역학적 에너지 보존법칙은이다.
1.여기서 v와 ω는 경사면 바닥에서 구의 선속도와 각속도이다.
2.이 구의 공간운동 이 구의 관성모멘트 이며, v rω이므로 경사면 바닥에서 속력은 이다.
4.주의: 실제 실험에서는 v rω의 관계는 r이 (원주)궤도와 구의 회전 중심축 사이의 거리로 바뀌어야 한다.(미끄러지지 않는다는 가정하에서)
구가 높이 h에서 정지 상태에서 출발하여 그림 2와 같은 경로를 굴러 내려 원형 트 랙의 꼭지점 t를 겨우 통과하는 경우, 꼭지점 t에서 역학적 에너지 et와 점 b에서 구의 속력 vb 는 다음과 같이 구해진다.
1) 원형트랙 꼭지점에서 역학적 에너지 et
5.원형트랙 꼭지점 t에서의 총 역학적 에너지의 일반적 표현은
6.이다.
(여기서 vt 는 t에서 구의 선속력이고 ωt 는 각속도로서 vt rωt 이며, r은 원형 트랙의 반경이다.)
7.구가 점 t에 겨우 도달하는 경우 구심력은 중력과 같으므로 이다.
식 와, vt, rωt의 관계를 식에 대입하면 et
27/10 mgr이다.
8.출발점과 점 t에서 역학적 에너지 보존법칙은 mgh 27/10 mgr, h 27/10 r 로 표시한다.
2) 점b에서 속력vb
9.출발점과 점 b에서 역학적 에너지 보존법칙은 이다.
(여기서 vb는 점 b에서 구의 선속력이고 ωb 는 각속력이다.) 식 에서 vb는 이며,
꼭지점 t를 겨우 통과하는 경우에는 식 mgh 27/10 mgr, h 27/10 r이 성립하여야 하므로 vb는 이 된다.
3) 점b에서 속력vb와 점c의 속력 vc의 관계
10.점 b와 접 c에서 역학적 에너지 보존법칙은 이다.
(여기서 ωc는 점 c에서 구의 각속력이며, h는 기준점에서 트랙의 끝점인 점 c까지의 높이이다.
11.식 을 정리하면
12.이다.
4) 포물운동
13.트랙의 끝점 c를 떠난 구는 포물운동을 하여 지면에 떨어진다.
14.점 c의 수직선이 지면과 만나는 점을 좌표축의 원점으로 하고 지면과 평행한 방항을 x축, 수직방향을 y축으로 하면(그림 2 참조)구의 궤도는 다음 식으로 표현한다.
15.즉, 그림 2 금속구의 운동경로 이다.
여기서 y0는 구의 초기위치의 y좌표이고 θ0는 초기각이다.
이 구가 지면에 떨어 진 좌표를 (xf, 0)로 표시하면 식 에서 이다 (이하 생략)
