페르마의 마지막정리
페르마의 마지막 정리란 ‘n 이 2 보다 큰 자연수일 때, 방정식 xn yn zn 을 만족하는 양의 정수 x, y, z 는 존재하지 않는다. ’ 이다
페르마가 죽은 뒤 그의 아들이 페르마의 업적을 정리해 책을 내었는데 이 페르마의 마지막 정리는 디오판타스의 책 ‘산술’에 적혀 있었다고 한다. 이 정리 옆에는 또 나는 정말 놀라운 증명 방법을 발견했다
하지만 이 여백이 좁아서 증명을 쓸 수가 없다. 라고 적혀 있었다고 한다
페르마는 n3, 4인 경우에 대해서만 증명을 해놓고 저런 글귀를 남겨놓았는데 아마 n이 5이상인 경우에 대해서도 앞의 증명과 같은 방법으로 풀어나가면 될 것이라고 추측하였던 것 같다. 그러나 페르마의 생각대로는 일반적인 증명이 되지 않으므로 현재의 수학자들은 페르마가 일반적인 경우에 대해서는 증명을 하지 못했을 것이라고 추측하고 있다
어쨌든 이러한 흥미로운 문장을 남겨놓은 터에 많은 수학자들이 달려들어 저 문제를 풀려고 노력하였으나 오래도록 증명되지 못하여 난제로 남아있는 상태였다. 컴퓨터로 n에 모든 무한한 자연수를 넣어서 일일이 확인 할 수도 없는 일이었다
수학적인 증명이 필요했다. 천재수학자 오일러를 비롯하여 소피 제르맹, 르장드르, 디리클레, 라메, 폴팅즈 등 수많은 수학자들이 도전과 실패를 거듭하였다
10살의 어린 앤드류 와일즈는 동네 도서관에서 우연히 페르마의 마지막 정리를 접하게 된다. 그 후 성장하면서 페르마의 마지막 정리를 증명해 내기위해 오랜 기간 동안 수많은 노력을 하게 된다
그가 이 문제를 풀어내기 위해 준비한 기간만 무려 17년, 이 문제를 풀어 내는 데만 8년이 걸렸다고 한다.
앤드류 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 어떻게 증명했는지를 살펴보면, 일단 와일즈의 증명법을 알기 위해서는 타원곡선의 개념이 필요하다. 실제로 와일즈는 타원곡선을 연구하는 수학자이고 타원곡선은 y²(x-a)(x-b)(x-c) 꼴의 곡선을 나타낸다
얼핏보면 페르마의 마지막 정리와 타원곡선은 전혀 무관한 것으로 보인다. 그러나 이 둘을 이어주는 시발점 역할을 하는 것이 타니야마-시무라의 추측이다
1955년 타니야마와 시무라는 타원곡선에 대한 중요한 추측(s-t추측)을 하는데 이는 모든 타원곡선에 모듈러 형식을 대응시킬 수 있다는 것이다. 이때 프레이가 s-t추측과 페르마의 마지막 정리간의 관련성을 언급한다
즉
xn yn zn 을 (n≥3)을 만족하는 정수해 x,y,z에 대해서 타원곡선 y²x(x-aⁿ)(zbⁿ)에는 모듈러 형식을 대응시킬 수 없다는 것을 증명한다. s-t추측과 페르마의 마지막 정리 사이의 모순이 존재한다는 것이다
즉, s-t추측이 틀리거나 xn yn zn 의 정수해가 존재하지 않는 다는 결론이 나온다. 와일즈 교수가 증명한 내용이 타니야마-시무라의 추측이다 (이하 생략)
