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소개글
전혀 예기치 못했던 수학과 이론물리학의 만남이 이루어낸 위대한 쾌거들 중의 일부를 소개하는 내용으로 작성된, 수학과 이론물리학의 상관성에 관한 레포트입니다.
저작시기 : 2004년 3월
목차
1. 게이지이론(Gauge Theory)의 등장
2. 도넬슨(Donaldson)의 게이지이론 응용
3. 사이버그-위튼(Seiberg-Witten) 게이지이론
4. 퀀텀 코호몰로지(Quantum Cohomology) 이론
5. 거울대칭성(Mirror Symmetry) 이론
본문내용
수학과 이론물리학의 상관성
조용승(이화여자대학교 교수)
조용승 교수 주요약력 : 경북대학교(이학사, 이학석사
), university of chicago(ph.d.), 충북대학교 미국 brandeis university 경북대학교 교수 역임, 대한수학회 총무이사(97∼98), 대한 수학회 회보 편집위원, 현재 이화여자대학교 수학과 교수
인류가 자연의 법칙을 보다 깊게 탐구하는 데서 수학과
이론물리학이 태동했다.그 근거는 라이프니츠(leibniz)와 뉴톤(newton)의 미분적분학의 발견, 아인슈타인(einstein) 의 일반상대성이론과 리만기하학(riemann geometry), 디랙(dirac)의 장이론(field theory)과 스핀기하학(spin geometry), 맥스웰(maxwell)의 전자기방정식과 드람(de rham) 코호몰로지이론, 양밀즈(yang-mills)의 게이지이론과 도넬슨(donald son)의 사차원 다양체의 응용, 끈이론(string theory)과 리만곡면론, 사이버그-위튼 이론(seiberg-witten theory), 그로모브-위튼(gro mov-witten) 이론에 따른 퀀텀 코호몰로지(quantum cohomology), 카오스이론(caos theory), 거울대칭성이론(mirror symmetry theory), 블랙홀이론(black hole theory), 양자장이론(quantum field theory) 등에서 찾아볼 수 있다.
수학과 이론물리학은 같은 뿌리에서 출발했지만 학문의
성격상 추구하는 본질은 각기 다르다고 할 수 있다.수학자는 대상을 수학적 엄밀성에 입각하여 수학적 구조를 밝히고 이론을 정립해 나가는 반면에, 이론물리학자는 대상의 물리적 성질에서부터 물리학적 이론을 정립해 나간다.두 학문이 각기 발전해 나가고 분화되어감에 따라, 수학자와 이론물리학자 사이에 학문적 연구방법이 다르고, 사용하는 언어가 달라졌으며, 또한 관심사에도 차이가 생김에 따라 서로간의 의사소통이 여간 어렵지 않게 되었다.
그럼에도 불구하고 위에서 열거한 근거의 예로부터 알
수 있듯이 최근 들어 더 많은 이론물리학자들이 자연에 대한 수학적 모델을 찾고 있어서 수학자들로서는 새로운 영역으로 대상을 넓힐 수 있고, 기존의 난제들을 새롭게 다른 각도에서 보고 이용할 수 있게 되었다.이론물리학자들도 잘 개발된 고등수학을 자연현상을 구조화하고 유추하는 데 이용할 수 있게 되었다.예를 들면, 물리학자들이 모듀라이 공간의 매개변수(parameter) 개수를 찾는데 빠뜨린 것을 지표이론으로 완성할 수 있었고, 수학자들도 도넬슨(donaldson) 정리를 위시하여 수많은 어려운 문제들을 이론물리학의 이론을 이용하여 해결할 수 있었다.이렇듯 수학과 이론물리학과의 학문적 밀접성은 무한한 상부상조의 가능성을 내포하고 있으며, 선진국들은 이를 익히 알고 이미 학문적으로 이용하고 있음을 위의 열거한 근거들로부터 알 수 있다.연구소의 활동을 예로 보더라도 미국의 프린스톤에 있는 고등연구소(advanced institute), 영국의 캠브리지에 있는 뉴튼연구소와 옥스퍼드의 수학연구소, 러시아의 스테크로브(steklov) 수학연구소에서는 수학자와 이론물리학자들이 같은 연구소에서 연구활동을 하고 있으며, 가까이 있는 일본 교토대학(kyoto univ.)도 수학자들이 이론물리학 세미나에 참석한다.
우리나라의 현재까지 상황은 수학자들과 이론물리학자들이
선진국에서 각자 자기 학문을 배워오는 데 집중하여, 점차적으로 학문이 정착되어 가고 있는 단계이다.우리도 선진국과 같이 차츰차츰 수학자와 이론물리학자가 서로 깊은 관심을 갖고, 타 분야의 연구에 도움도 주며 공동관심사에 대해서는 공동연구를 적극적으로 추진해 나간다면 우리의 학문도 크게 발전하고, 선진국들과도 어깨를 겨룰 수 있으리라 믿는다.
본 논단에서는 전혀 예기치 못했던 수학과 이론물리학의
만남이 이루어낸 위대한 쾌거들 중의 일부를 소개하고자 한다.대표적으로 맥스웰의 장방정식과 드람 코호몰로지방정식의 만남, 양(yang)의 비가환(non-commutative) 게이지이론을 이용한 도넬슨의 사차원 다양체 연구, 양밀즈 게이지이론을 크게 간소화한 사이버그-위튼(seiberg-witten)의 게이지이론, 타우브스(taubes)의 사이버그-위튼 불변량과 그로모브-위튼(gromov-witten)의 불변량의 동일함의 정리, 그로모브-위튼 불변량으로부터의 퀀텀 코호몰로지 유도와 그의 대수기하에의 응용, 퀀텀 코호몰로지로부터 거울대칭성과 대수기하문제, 이상의 것들을 포괄하는 양자장이론을 간략히 소개하고자 한다.
1.게이지이론(gauge theory)의 등장
자연의 기본법칙을 기술하는데 벡터다발, 접속, 곡률이
중요한 역할을 한다.19세기 중엽에 맥스웰(maxwell)은 전자기의 법칙을 발견했으며 이때 전기와 자기는 서로 다른 요소로 간주되었다.20세기초에 로렌츠(lorentz)는 만일 시공간
^{3,1}`≡` ^3 `×` ^1`
에 슈도-리만자(pseudo-riemann metri
c)를 주면, 전기와 자기는
^{3,1}`
상의
2`
-형식
omega ``
의 성분으로 결합할 수 있다고 했으며, 이때
omega
를 전자기장(electromagnetic field)
이라 하며, 맥스웰의 방정식은
d omega `` 0, `` delta omega (이하 생략)
참고문헌
없음
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